기초 수학 - 편미분의 연쇄 법칙(Chain Rule In Partial Derivative)

편미분에 연쇄 법칙을 적용하여 다변수 함수의 편미분값을 구하는 과정을 수식을 통해 알아보자. 먼저 $ y = f(u, v) $ 라는 함수가 있을 때 함수를 구성하는 u, v가 $ u = g(x, z) $, $ v = h(x, z) $ 함수로 존재한다고 가정하자. 연쇄 법칙을 통해 y에 대한 x 편미분 값을 구하는 과정은 순차적으로 수식을 나열하여 계산 과정을 파악할 수 있다.

y에 대한 x의 편미분 값을 계산 과정을 순차적으로 나열하면 다음과 같다.

• y에 대한 u 편미분 값을 구한다.
• u에 대한 x 편미분 값을 구한다.
• 이에 추가적으로 y에 대한 v 편미분 값을 구한다.
• v에 대한 x 편미분 값을 구한다.

함수 u와 v 모두 x라는 변수를 담고 있기에 두 함수 모두를 거치는 연쇄 법칙이 작용한다. 이를 수식으로 나타내면 $ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $ 라는 수식이 완성된다.

y에 대한 x 편미분 값을 구한 것처럼 y에 대한 z 편미분 값 또한 쉽게 구할 수 있다.

• y에 대한 u 편미분 값을 구한다.
• u에 대한 z 편미분 값을 구한다.
• 추가적으로 y에 대한 v 편미분 값을 구한다.
• v에 대한 z 편미분 값을 구한다.

수학 수식으로 나열하면 $ \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{\partial y}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial y}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial z} $ 와 같다.

 

---

https://www.buymeacoffee.com/flashback_music

Flashback