기초 수학 - 합성곱(Convolution) 연산

 

 

합성곱(Convolution) 연산

합성곱 연산은 두 개의 함수 또는 신호를 결합하여 새로운 결과는 만드는 연산이다. CNN에서는 입력 데이터(이미지, 신호 등)와 필터를 사용하여 중요한 특징을 추출하거나 데이터를 변환시킨다. 필터를 입력 데이터 위에서 슬라이딩하여 데이터를 하나씩 곱하고 더하여 특징을 추출한다.

• $ f(x) $: 입력 신호로 처리하려는 데이터다.(이미지, 숫자 데이터 등)
• $ g(x) $: 입력 데이터를 분석하거나 변형하는 필터이다.
• 슬라이딩: $ g(x) $를 $ f(x) $ 위에서 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 조금씩 이동한다. 이동하면서 겹치는 부분이 있으면 겹치는 부분의 값을 곱하고 더한다. 마지막 부분에 도달할 때까지 반복한다.

 

간단한 수학 예제로 살펴보면 더 쉽게 이해할 수 있다.

• 입력 신호 $ f(x) $를 [1, 2, 3, 4] 로 가정한다.
• 필터 $ g(x) $를 [2, 1] 로 가정한다.
• 슬라이딩: 필터를 오른쪽 방향으로 이동하면서 겹치는 부분의 값을 곱하고 더한다.
• 첫 번째 위치: 1 x 2 + 2 x 1 = 4 ( $ f(x) $의 0번째 인덱스 x $ g(x) $의 0번째 인덱스 + $ f(x) $ 의 1번째 인덱스 x $ g(x) $ 의 1번째 인덱스)
• 두 번째 위치: 2 x 2 + 3 x 1 = 7 ( $ f(x) $의 1번째 인덱스 x $ g(x) $의 0번째 인덱스 + $ f(x) $ 의 2번째 인덱스 x $ g(x) $ 의 1번째 인덱스)
• 세 번째 위치: 3 x 2 + 4 x 1 = 11 ( $ f(x) $의 2번째 인덱스 x $ g(x) $의 0번째 인덱스 + $ f(x) $ 의 3번째 인덱스 x $ g(x) $ 의 1번째 인덱스)
• 결과: [4, 7, 11]

 

합성곱 연산 예제

 

수학 수식으로 정의하면 다음과 같다. $ (f*g)(t) = \int_{-\infty }^{\infty }f(\tau)g(t - \tau)d\tau $

• $ f(\tau ) $: 입력함수이며 $ \tau $는 시간 또는 위치를 나타내는 변수이다. 위의 사진에서 볼 수 있듯이 $ \tau $ 의 이동에 따라 새로운 함수가 생성되는 것을 확인할 수 있다.
• $ g(t - \tau ) $: $ f(\tau) $ 가 반전된 함수다. $ g(\tau) $ 면 원래 모양과 동일하겠지만 $ g(t - \tau) $ 이기 때문에 반전 이동을 나타낸다.
• $ d\tau $: 적분에서 작은 시간 간격을 의미한다. 시간 변화에 따른 계산을 진행하기 위해 $ d\tau $ 를 곱한다.
• $ \int_{-\infty }^{\infty } $: 시간 $ \tau $ 에서 모든 값을 고려해야 하기 때문에 무한대가 붙는다.

합성곱 연산을 통해 이미지의 특성맵(feature map)을 추출할 수 있으며 이를 통해 이미지의 경계선을 탐지하거나 이미지의 특징을 바탕으로 이미지를 분류할 수 있다.

 

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참고 사이트:

 

https://www.mathworks.com/discovery/convolution.html

Convolution

 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A9%EC%84%B1%EA%B3%B1

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